Tampilkan postingan dengan label Matematika. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label Matematika. Tampilkan semua postingan

Selasa, 08 November 2011

hendra fadholi 21060111130049

00.46  Comitree2011  No comments

Read More

Senin, 07 November 2011

Kurniawan Nur Aryadi (21060111120036)

22.58  Comitree2011  No comments


Grafik logaritma terhadap basis yang berbeda. merah adalah terhadap basis e, hijau adalah terhadap basis 10, dan ungu adalah terhadap basis 1.7. Perhatikan bahwa grafik logaritma terhadap basis yang berbeda selalu melewati titik (1,0)
Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.
Rumus dasar logaritma:
bc= a ditulis sebagai blog a = c (b disebut basis)
Beberapa orang menuliskan blog a = c sebagai logba = c.

Basis

Basis yang sering dipakai atau paling banyak dipakai adalah basis 10, e≈ 2.71828... dan 2.

 Notasi

  • Di Indonesia, kebanyakan buku pelajaran Matematika menggunakan notasi blog a daripada logba. Buku-buku Matematika berbahasa Inggris menggunakan notasi logba
  • Beberapa orang menulis ln a sebagai ganti elog a, log a sebagai ganti 10log a dan ld a sebagai ganti 2log a.
  • Pada kebanyakan kalkulator, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis 10 dan LN menunjuk kepada logaritma berbasis e.
  • Pada beberapa bahasa pemrograman komputer seperti C,C++,Java dan BASIC, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis e.
  • Terkadang Log x (huruf besar L) menunjuk kepada 10log x dan log x (huruf kecil L) menunjuk kepada elog x.

 Mencari nilai logaritma

Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:

 Rumus

Logaritma

ac = b → ª log b = c

a = basis

b = bilangan yang dilogaritma

c = hasil logaritma

Sifat-sifat Logaritma

ª log a = 1

ª log 1 = 0

ª log aⁿ = n

ª log bⁿ = n • ª log b

ª log b • c = ª log b + ª log c

ª log b/c = ª log b – ª log c

ªˆⁿ log b m = m/n • ª log b

ª log b = 1 ÷ b log a

ª log b • b log c • c log d = ª log d

ª log b = c log b ÷ c log a

 Kegunaan logaritma

Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.

 Sains dan teknik

Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat di skala logaritmik.
  • Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10−7 pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.
  • Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.
  • Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.

 Penghitungan yang lebih mudah

Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma::
Penghitungan dengan angka
Penghitungan dengan eksponen
Identitas Logaritma
Description: \!\, a b
Description: \!\, A + B
Description: \!\, \log(a b) = \log(a) + \log(b)
Description: \!\frac{a}{b}
Description: \!\, A - B
Description: \!\, \log(\frac{a}{b}) = \log(a) - \log(b)
Description: \!\, a ^ b
Description: \!\, A b
Description: \!\, \log(a ^ b) = b \log(a)
Description: \!\, \sqrt[b]{a}
Description: \!\, \frac{A}{b}
Description: \!\, \log(\sqrt[b]{a}) = \frac{\log(a)}{b}
Sifat-sifat diatas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi modern.
Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.

 Kalkulus

Turunan fungsi logaritma adalah
Description: \frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x \ln(b)} = \frac{\log_b(e)}{x}
dimana ln adalah logaritma natural, yaitu logaritma yang berbasis e. Jika b = e, maka rumus diatas dapat disederhanakan menjadi
Description: \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.
Integral fungsi logaritma adalah
Description: \int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C
Integral logaritma berbasis e adalah
Description: \int \ln(x) \, dx= x \ln(x) - x + C\,
Sebagai contoh carilah turunan
log(x)
Nilai logaritma dengan basis b dapat dihitung dengan rumus dibawah ini.
Description: \log_b(x) = \frac{\log_e(x)}{\log_e(b)} \qquad \mbox{ or } \qquad \log_b(x) = \frac{\log_2(x)}{\log_2(b)}
Sedangkan untuk logaritma berbasis e dan berbasis 2, terdapat prosedur-prosedur yang umum, yang hanya menggunakan penjumlahan, pengurangan, pengkalian, dan pembagian.

Read More

Mellia Aisyah Aristyorini

22.33  Comitree2011  No comments


Graphmatica
 
 
 
Salah satu software ringan yang dikhususkan untuk menggambar grafik. Bukan hanya menggambar grafik, aplikasi ini juga bisa digunakan untuk menggambar garis singgung suatu kurva, dan juga menggambar turunan dari suatu fungsi.
Selain itu juga bisa digunakan untuk menggambar daerah intgrasi, dan juga menghitungnya. Jadi, kita akan dimudahkan untuk hal menggambar di sini.

Fitur-fitur yang disediakan adalah sebagai berikut :
-Menggambar grafik
-Save, print dan copy graph
-Point table dan Data plot editor
-Integral
-Menggambar garis singgung
-Menggambar Turunan
-Mencari titik koordinat
-dll

Koordinat yang disediakan juga terdiri dari berbagai macam. Dasarnya adalah koordinat kartesius. Selain itu juga bisa menggunakan koordinat polar, atau dengan koordinat kartesius tetapi dengan bilangan Description: pisebagai sumbu x. atau juga bisa dengan logaritma.

Untuk mengatur dimana kita bisa mengubah ke dalam koordinat polar atau kartesius, perhatikan langkah ini : i

Klik Options, kemudian Graph Paper
 

 
Ada 4 pilihan, yaitu Rectangular, Trigonometri, Polar, Logarithmic. Grid yang disediakan juga ada 4 macam. Perbedaannya ada pada ketebalannya..
Setelah memilih, misalnya kita pilih polar. Maka gambar koordinat yang muncul adalah seperti background gambar tersebut. Lalu, bagaimana menuliskan fungsi polar ke dalam gambar tersebut?
Untuk menuliskan fungsi polar ke dalam koordinat tersebut, tinggal kita masukkan saja. dalam polar, kita mengenal r dan theta. Di dalam koordinat ini, kita memasukkan Description: rdengan r, dan Description: \thetadengan t.
Misalnya kita ingin menggambarkan Description: r=5sin \, \theta
Kita inputkan saja r=5*sin(t)
mudah kan! Gunakan r untuk menggantikan Description: r, dan gunakan t untuk menggantikan Description: \theta

Kembali ke fungsi dasar graphmatica, yaitu sebagai penggambar grafik. Untuk menggambar grafik, langsung saja masukkan fungsinya.


Menggambar 2 grafik atau lebih sekaligus juga bisa. Gunakan pangkat dengan menuliskan tanda ^. Misalnya Description: x^4, untuk menuliskannya, tuliskan x^4. Perkalian dengan menggunakan bintang (*). Variabel yang terbaca di sini hanyalah variabel x dam y saja. tentu r dan t juga untuk koordinat polar.
 
Fungsi selanjutnya yaitu menghitung integral, atau menghitung luas daerah dibawah kurava atau yang berbatasan dengan dua kurva.


Untuk menandai atau meraster atau mengarsir suatu daerah, pertama yang harus dilakukan adalah (gambar sudah harus ada) :
Klik Calculus, kemudian klik Integrate.
 
Arahkan kursor ke sebarang grafik terlebih dahulu. Kemudian seret ke kanan atau ke kiri sedikit saja. setelah itu akan muncul suatu daerah yang diraster.
Jika itu bukan yang kita inginkan, maka pada kotak di bawahnya (Integrate Curve), pilih equation 1 sebagai kurva atas, pilih equation 2 sebagai kurva bawah.
Jika tidak menghendaki kurva bawah, maka kosongi saja. nanti akan diproses sebagai berbatasan bawah dengan sumbu x.
Setelah itu masukkan batas-batas integralnya. Kemudian tekan Calculate.
Mudah bukan, menghitung integral dengan aplikasi ini.
 
Kemudian fungsi selanjutnya adalah menggambar garis singgung. Seperti berikut ini :
Klik Calculus, kemudian klik Draw Tangent




Selanjutnya, letakkan kursor pada sebarang grafik, dan klik. Lalu muncul kotak “Draw Tangent line” seperti pada gambar.
Sekarang tinggal kita isikan, misalnya ingin mencari persamaan garis singgung pada titik Description: (-1,4), maka tinggal memasukkannya, dan kemudian tekan Calculate.
Selesai.
 
Begitu mudahnya menggunakan sebuah teknologi. Menggambar grafik sekarang sudah sangat cepat dan canggih. Menggambar grafik di komputer, menggambar grafik di HP, atau menggambar grafik di buku? Pilih yang mana ya. Hehe.
Mencari persamaan garis singgung dengan menggunakan graphmatica juga sudah sangat mudah, mencari luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva, maupun dibatasi oleh sebuah kurva dan sumbu x. Selain itu, graphviewer juga berukuran sangat ringan. Hanya 321 kb untuk PC. Untuk Handphone, kalian bisa menggunakan graphviewer yang lebih canggih.

Sumber : http://asimtot.wordpress.com/2011/05/07/graphmatica/


Read More